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为什么根号负一不是i

2018-11-9 09:26
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各位别用算术平方根反驳我了,你用初中规定反驳复变函数,不脸红么?

正文开始

等于多少?可能很多人都知道,是2。
但是对一个负数开根号呢?比如 是多少??
托很多科普文章的福,大家都知道  ,因为  。
但是。。你稍微想想,为什么不是 呢?毕竟 也是没问题的啊?
然后有人说了,初中就学过了, ,但是我们只取正的,叫算数平方根。所以对 ,我们也取正的就可以了。(当然此时你还意识不到复数不能比大小,正负也就无从谈起了。)
但是,如果不是开二次方,是开三次方呢?
是多少?是 么?
为什么不是 呢?
毕竟 没问题啊。
于是,开三次根号八,居然有三个解!
函数的定义是什么?一个自变量对应唯一一个因变量?但是开三次方这个函数,居然一个自变量对应三个因变量?
到此为止,你应该以经发现了,只要你承认  ,你就不可避免地要回答一个问题, 到底是正二还是负二?开根号到底是有几个解?

看来复数,并不只是  这么简单。
    复数定义
设有一对有序实数  ,遵从
  加法:
  乘法:
则称这一对有序实数  定义了一个复数 ,其中 的实部, 为虚部。
复数减法为加法的逆运算
虚数单位
原来我们要先定义一对实数,并满足两个运算法则,然后 就是我们要的虚数单位  了。
给读者留个小作业,验证  的平方为负一。
    复数运算
共轭复数: 互为共轭,共轭复数的乘积为实数,因为

复数除法:我们可以用共轭复数来记算除法

    复数几何表示
既然复数是两个实数组成的一对,那我们把第一个实数画在横轴上,第二个实数画在纵轴上,于是就有了复平面
为什么根号负一不是i-33.jpg
原来复数好似是复平面上的一个向量,共轭复数关于实轴对称。
    复数的极坐标和指数表示
由上图,我们发现 ,于是我们把复数写成极坐标的形式

其中 为复数的模, 为复数的辐角。
大名鼎鼎的欧拉公式已上线: ,于是复数也可以写成指数形式

原来复数还不能完全看成是向量,因为乘法时是模相乘辐角相加,并不是向量的点乘或者叉乘。
    到底怎么算三次根号下八?
我们现在知道了,对于实数,其实是躺在实轴上的一个复数,也就是辐角 ,其指数表示法为

但,为什么不是  呢?
但,为什么不是 呢??因为辐角0度,和360度,和720度,都是在同一个地方啊?
但是你把这三个辐角都除以3,就会产生不同的结果。
对于
对于  ,
给读者留个作业,自行计算
    多值函数
原来,在计算复数时,由于其辐角 的多值性,函数的因变量也会有不同的值。此为多值函数。开方和取对数,在复数域里,都是多值函数
从此,函数不再是一对一的了。或者说,函数其实还是一对一的映射,但是多值函数不算是函数了。

后记:
写本文的原因是,有个人写了复数的科普文章,对我的评论居然是“虚数是个数,没有单位”,“根号负一有两个值,我不知道从哪来的”,“对于i,我不知道更多”,然后居然把我拉黑了。。然后那个人下面评论也是清一色的“加那个负号干嘛”。所以我想我还是写一个文章好好说说吧,虽然全是定义和计算也没几个人会看。另外,笔者是学物理的,对数学概念理解得并不深,如果有错误还请各位数学专业大佬多多指教。。
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15 个回复

倒序浏览
古巷@  高级会员 | 2018-11-9 09:26:46
学过复变的都知道,exp(i(2n+1)π)=-1嘛
懒得热情  中级会员 | 2018-11-9 09:26:46
复变函数的基础必备知识
把亲昵变折磨〗  高级会员 | 2018-11-9 09:26:46
因为函数多值性
離丶  中级会员 | 2018-11-9 09:26:46
文章勾起了差点挂掉复变的惨痛记忆,内容引起不适举报举报
晴栀菀歌  中级会员 | 2018-11-9 09:26:46
我觉得 作为科普 你应该说一下为什么开根号只能被定义为多值函数 原因在于你没法在复数中定义“算数平方根”
不再奢望  高级会员 | 2018-11-9 09:26:46
文科的概念有人反驳就算了,毕竟大文学家用的语言跟文盲用的语言也是同一种,有严密推导证明的数学概念还有杠精反驳???网络世界太可怕了╮(╯▽╰)╭
森林里的老猎人  中级会员 | 2018-11-9 09:26:46
同是学物理的,文章讲得很好。不过网上喷子大约是没法静心看文章的。
╯寂寞如烟  高级会员 | 2018-11-9 09:26:46
写的好
纵横天下  中级会员 | 2018-11-9 09:26:46
提到多值函数还是强调一下它不是映射比较好,既然是科普文章的话。
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